數學家這樣思考!德國一流大學教你秒殺棘手問題

2016-05-10 15:42

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我們可不可以先假設某個斷言的反面是對的,然後透過無瑕可擊的邏輯推導,得出與所假設事實矛盾的結論,以此來證明原本的斷言是對的?

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歐幾里得最喜歡用的反證法,是最精良的數學武器之一。這比任何一個棋士所用的戰術都來得高明。棋手可能犧牲一個士兵或其他棋子,但數學家可是犧牲整盤棋。      ─哈第(G. H. Hardy)

今日特餐─沒有冰淇淋!  ─瑞士山區一家餐廳的看板

「我沒看見街上有人,」愛麗絲說道。「真希望我有這樣的眼睛,」國王慍怒地回道。「什麼人也看不見!而且是在這種距離下!我甚至可以在這種燈光下看見所有的人,只是要費點力!」           ─卡羅(Lewis Caroll):《愛麗絲夢遊仙境》

如果你沒錯,你就對了。        ─ Sunny Skylar 歌曲〈Gotta be this or that〉中的一句歌詞

反證法(歸謬證法)是一種邏輯論證方式,透過證明發現一個說法之中包含矛盾,進而反駁。我們會證明,若假設這個說法是對的,就會導致邏輯上的矛盾,或是和一個先前已經認可的論點產生矛盾。

這個思考方式常用於數學上的間接證明法。間接證明或反證法的特點在於,並非直接推導出所要證明的敘述A,而是利用反證法,推翻敘述A 的反面,即非A。會導致矛盾的假設,就是錯的、可以被否定的。在二值邏輯中,每一個命題不是真就是假,原敘述的反面證明為假,就表示這個敘述本身為真。沒有第三種可能。這叫做「排中律」。

早晨講堂的相互辯證

「您說的不正確。但也不能說是不對。」

─物理學家包立(Wolfgang Pauli)跟一個學生如此說。

從原本要證明的敘述A 的反面敘述非A,來導出矛盾的結果,我們稱為輔助式的演繹推理。演繹推理的涵蓋範圍和複雜度依情況各有不同。透過演繹推理,可能導出三種矛盾的結果。第一種矛盾是,最後得到的結論是「非A」的反面,也就是可以從「非A」推得A。第二種是結論自相矛盾。第三種矛盾是,結論顯然是一個錯誤的命題。

反證法具有以下的邏輯結構:

(1) 敘述A

演繹推理

(2) 條件(或假設)非A

(3) 推論(沒有明顯的矛盾)

(4) 推論(顯然矛盾)

(5) 關於敘述A 的結論

邏輯論證是可以被學會的。但不注意一些事情的話,就有可能出錯。所以現在我們先來仔細探討何謂邏輯論證,以及邏輯論證的有效性。

所謂論證,就是指某個斷言之所以成立的理由。結構上,論證是由一個或數個條件(前提)和一個推論(結論)組成。所以,論證是一組語句。重要的是,前提和結論都必須是被真值定義的語句,意思是這些語句不是真,就是假。亞里斯多德將命題定義為語言結構,非真即假。

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