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德國一流大學教你數學家的思考工具,將問題化繁為簡!

2016-04-18 15:45

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數學家將歸納原則內化了,遠遠就能察覺這個方法是否能、從哪裡、該如何成功用來解決某個特定問題。

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不懂數學的門外漢卻對這個方法保持著懷疑的態度。偶爾可以聽到他們反對數學歸納法的論點,例如有待證明的地方已被當成歸納步驟的前提。事實並非如此。在歸納步驟裡證明的是一個條件語句:若一個要被證明的命題在特定情況下是對的,則對下一個情況也是對的。但如果找不到這種情況,那麼前後情況之間的連結就沒有邏輯意義了。這是條件推論的中心思想之一。

然而條件推論也有它的陷阱。所以我們先來談談這種類型的推論及伴隨而來的陷阱。

許多人在條件推論上產生適應困難,這通常是發生在處理條件句時。一個條件句是由兩個敘述P 與Q 組成,兩者以「若⋯⋯則⋯⋯」的結構合成一句:若P,則Q。譬如:「如果有人做了一場旅行,那他一定有故事可講。」或是:「如果他們還沒死的話,那麼就會從此過著幸福快樂的生活。」

條件推論的有效變體在形式邏輯上稱為肯定前件(Modus ponens),具有以下結構:從蘊涵關係「若P 則Q」以及P 為真,可推得Q 也為真。因此,肯定前件是由前提(「某人去旅行」)推斷出結論(「他一定能講些東西」)。

這是簡單的條件推論形式,通常連學齡前兒童都能大致掌握。

第二種複雜許多的條件推論形式為否定後件(Modus tollens),具有以下結構:從蘊涵關係「若P 則Q」以及Q 的反面為真(非Q),可推斷出P 的反面為真(非P)。由此看來,否定後件是從否定的結論(「他沒有東西能講」)推理出否定的前提(「他沒去旅行」)。

儘管多數孩童都能掌握肯定前件這種推論形式,有些成年人在碰到否定後件這種推論形式時,卻出現問題,錯誤地應用在:從蘊涵關係「若P 則Q」以及Q為真,得出P 也為真。這是無效的結論,用剛才所舉的例子來看就會明白,不是每個有故事可講的人,之前都必定旅行過。其他的活動也能提供故事題材。

在此情況下其他可以想到的推論形式,即從蘊涵關係「若P 則Q」推導出「若非P 則非Q」,邏輯上來說也不成立。由剛剛的例子,就會是:「沒有旅行的人,就沒有東西好講」,而這是錯的。有些人雖然沒旅行,還是有話題可以講。

為了感受一般人在否定後件上遇到的困難,我們來看看華森(P. C. Wason)在1960 年代提出的選擇任務實驗。華森在受試者的面前放了四張卡片,每張卡片有一面是英文字母,另一面是數字。同時他告訴他們一項規則:「如果一張卡片有一面是母音,它的另一面必定是偶數。」受試者的任務就是要決定應該翻開四張卡片當中的哪幾張,來驗證這個規則。華森的四張卡片如下:

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